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    谁最先给出了匀速圆周运动的向心力公式?
    发布:luofan  字号:正常   阅读:  发布日期:2018-04-22 17:00

    在北京读书的时候,曾有幸听杨振宁讲报告。有次他讲他没有上过高中,高中物理是他自学的。他对书中的匀速圆周运动曾颇感困惑---为什么加速度是在径向方向,而不是切线方向呢?他说等他想明白这点后,高中物理他就懂了。

    相信很多人有过类似的困惑。

    这也许是应该的,因为这个问题必须要用到微积分或者至少是微积分思想。

    不确定之前是否有人研究过匀速圆周运动相关的加速度问题,不过牛顿是有明确结论的。他专门有个定理,明确表示加速度a正比于速度v的平方,而反比于圆半径r。

    今天看来,牛顿的推导没那么直接。原因很简单,牛顿虽然发明了微积分,但是没来得及将之发展到今天这样完善的程度。

    一个更一般的问题是,如果轨迹不是圆周,而是一条任意曲线,而运动速度也不是恒定,而是任意,那么加速度如何?按照微积分,我们有简单的推导

    可见,这时一般而言加速度有两个分量,一个在曲线的法线方向,一个在曲线的切线方向。有趣的是,这两个分量大小都只依赖于速度v的平方。

    这点导致Bonnet的定理,即如果同样一个轨迹可以在力场F1,F2,F3等若干力场中任意一个单独存在时实现,那么这条轨迹也可以在这些力场同时存在时实现。定量上,如果对应力场Fi的速度为vi,那么在这些力场同时存在时,只需要将粒子的速度v改为

    即可。

    这个定理的一个应用是在Euler问题上。Keper问题是个单引力中心问题,其解大家很清楚。如果是两个引力中心呢?可以想象,粒子在这样一个场中的运动可能非常复杂,例如(*表示两个引力中心,即两个太阳)

    但是按照Bonnet定理,这个系统至少存在如下图所示的非常规则的轨道(闭合,周期)

    事实上任何以两个中心为焦点的椭圆都可以被实现,因为在其中任何一个引力中心单独存在时,这个椭圆轨道是可以被实现的。

    注1:Euler最早研究了双中心问题,而且凭借其天才,说明这个问题跟kepler问题一样是可以通过积分求解的。

    注2:Bonnet的定理非常简单,但是颇有启发性,可惜不(哪怕是以习题形式)出现在一般教科书上。

    注3:印象中,老杨认为,如果一个人没有跟他一样对匀速圆周运动有过困惑,那么这个人肯定不能学物理。